Odhad limity posloupnosti v Excelu

Posloupnost reálných čísel často zadáváme vzorcem pro výpočet n-tého členu, nebo rekurentním vzorcem. Ten počítá z jednoho, či více předcházejících členů další člen posloupnosti. Často je zapotřebí pouze jeden počáteční člen. Matematické vyjádření rekurentního vzorce je potom: x_i+1=f(x_i), kde f je reálná funkce jedné reálné proměnné. Výpočet každého nového členu posloupnosti (v podstatě se neliší od výpočtu členů předchozích) nazýváme další iterací.

Konverguje-li naše posloupnost (existuje vlastní limita posloupnosti {x_i}), blíží se generované členy její limitě a výpočtem dostatečného počtu členů lze potom hodnotu limity odhadnout. Neblíží-li se naopak generované členy určitému číslu (hodnotě limity), nebo dojde-li při iteraci k chybě #ČÍSLO!, lze usuzovat, že posloupnost diverguje.

Iterační metody se používají často v numerické matematice i v přírodovědě. V této kapitole ukážeme jak na iterace Excelem.

Posloupnost je zadána vzorcem pro výpočet n-tého členu.

Na listu Excelu generujeme sloupec přirozených čísel. Vedle buňky s číslem 1 zapíšeme vzorec pro první člen naší posloupnosti. Místo hodnoty n píšeme v tomto vzorci odkaz na tuto buňku, ve které je hodnota n=1. Vytvořený vzorec potom kopírujeme směrem dolů pro další přirozená čísla, další n (viz následující příklad).

Příklad: určit limitu posloupnosti

Řešení je na následujícím obrázku:

Z matematiky víme, že limita této posloupnosti existuje a je rovna Eulerovu číslu e. Ve sloupcích A a B jsou generovány členy této posloupnosti. Pro každou hodnotu n ve sloupci A je na stejném řádku ve sloupci B spočtena hodnota příslušného členu posloupnosti. Ve sloupcích D a E je tabulka, která ukazuje, jak se členy naší posloupnosti blíží Eulerovu číslu e (ve sloupci E) s růstem hodnoty n (ve sloupci D, n=10, 100, 1000, 10000). V buňce E7 je hodnota e vypočtená jako exp(1).

Posloupnost je zadána rekurentním vzorcem

Hledejme odhad limity posloupnosti zadané vzorcem x_i+1=3-exp(-2*x_i). K výpočtu nutno znát hodnotu počátečního členu x₀. Ve sloupci B vytvoříme hodnoty n (volitelně). Do C2 vložíme hodnotu x₀=2. Do buňky C3 vpíšeme rekurentní vzorec, v němž za x_i píšeme relativní adresu členu x₀, tedy C2. Obsah buňky C3 kopírujeme směrem dolů (stačí poklepat na táhle) a sledujeme hodnoty takto vytvořených členů posloupnosti. V našem případě je posloupnost konvergentní a odhad její limity je v buňkách C7 a C8.

Dále hledejme odhad limity posloupnosti zadané vzorcem x_i+1=3*exp(-2*x_i). Po aplikaci obdobného postupu, jako v předchozím případě (sloupce E a F na předchozím obrázku), lze usoudit, že naše posloupnost diverguje. Pro jistotu generujte více členů této posloupnosti.

Podívejme se nyní na to, zda má volba členu x₀ - počátečního odhadu limity posloupnosti - vliv na konvergenci této posloupnosti. Jako příklad vezmeme opět posloupnost x_i+1=3-exp(-2*x_i). Výsledek - odhad této limity - chceme získat s přesností na čtyři desetinná místa. Na dalším obrázku volíme počáteční odhad postupně 2; 1; 0; ...., -0,7 (viz buňky se zeleným podkladem). Vidíme, že čím je horší náš počáteční odhad (dále od hodnoty limity), tím více iterací musíme provést k tomu, abychom limitu získali s požadovanou přesností (na obrázku je cílová hodnota pro každý počáteční odhad označena žlutým pozadím buňky). Pro poslední dvě hodnoty počátečního odhadu získaná posloupnost dokonce diverguje.

Vliv počátečného odhadu na iterace — Vliv počátečního odhadu na konvergenci iterační posloupnosti.

Numerická matematika nám dává k dispozici velké množství kvalitních iteračních metod pro řešení celé škály úloh. Platí zde obecné pravidlo: čím lepší počáteční odhad řešení máme, tím dříve řešení získáme (tím méně iterací je třeba k jeho získání). Pro špatné počáteční odhady ho nemusíme obdržet vůbec. K nalezení kvalitního počátečního odhadu řešení někdy stačí vtipná úvaha, či důkladný rozbor problému.