Používání přibližných obrazů k ilustraci abstraktních představ má dlouhou tradici v geometrii. Vždyť ani základní prvky euklidovské geometrie - bod a přímku  - nelze přesně nakreslit. Zajímavá však je otázka vztahu mezi fraktaly a skutečnými biologickými strukturami. Ty se totiž skládají z konečného počtu buněk, a proto nemohou být fraktaly v pravém smyslu toho slova. Skutečné rostliny bychom mohli pokládat za aproximace „dokonalých“struktur fraktalů jen s tím, že bychom přijali Platónovu představu idejí nadřazených jejich pozemskému ztělesnění. Nadějnější však je opačný přístup: fraktaly můžeme pokládat za abstraktní popis skutečných struktur, i když se to na první pohled může zdát podivné.
Przemysl Prusinkiewicz a Aristid Lindenmeyer: The algorithmic beauty of plants,s.175

Virtuální květinářství

Pokud ve vás článek o počítačovém modelování rostlin vzbudil chuť na trochu delší brouzdání virtuálními zahradami, můžete začít u klasického zdroje – na stránce Przemysla Prusinkiewicze, kde se nabízí interaktivní kniha s množstvím ilustrací, mnohdy animovaných (P. Prusinkiewicz, M.Hammel, R. Měch:  Visual Models of Morphogenesis; http://www.cpsc.ucalgary.ca/Redirect/bmv/vmm-deluxe/TitlePage.html). Obrázky jsou veliké, Kanada daleko a spojení na server university v Calgary zpravidla mizerné, takže návštěva má smysl spíš (velmi) časně ráno nebo o víkendu. Austrálie je sice také daleko, ale server CSIRO (Cooperative Research Centre for Tropical Pest Management) v Brisbane (http://www.ctpm.uq.edu.au/virtualplants/ipivp.html) bývá snáz dostupný, a je na něm k nalezení vše, co si můžete přát vědět o virtuálním bavlníku. Do třetice ze vzdálených krajů: pokud se vám líbí bonsaie a pokud vám nevadí, že jsou „jen“ modelované, doporučuji stránky Norishige Chiby (http://www-cg.cis.iwate-u.ac.jp/lab/index-e.html). A může nás potěšit, že za virtuálními rostlinami nemusíme jen do zámoří: Bedřich Beneš z ČVUT v Praze má velice hezké modely vývoje rostlin, které se natahují za světlem „jako živé“ (http://sgi.felk.cvut.cz/~benes/).
Chcete-li vědět víc o L-systémech a případně si nějaký i sami napsat, doporučuji přehlednou příručku na http://life.csu.edu.au/complex/tutorials/tutorial2.html. K praktickému vyzkoušení nepotřebujete nic víc, než webový prohlížeč, který „umí“ Javu (třeba Netscape), protože na http://www.starwave.com/people/markma/Java/Lsystem/index.html najdete interaktivní program na grafickou interpretaci jednoduchých dvourozměrných L-systémů. Pokud zatoužíte po něčem podobném doma a off-line, stačí navštívit stránky Laurense Lapre  (http://www.xs4all.nl/~ljlapre/), kde najdete nejen ledacos o L-systémech a počítačové grafice, ale i řadu odkazů a hlavně programy jménem Lparser a Lviewer pro výpočet a trojrozměrnou interpretaci neparametrických L-systémů, které si můžete zdarma stáhnout a instalovat na vlastní počítač. Oba programy nejsou nijak náročné na systém – stačí jim DOS, ale pokud nemáte chuť ovládat je přes příkazový řádek, lze k nim získat interface pro 32bitové verze Windows jménem Lsys32 od Charlese Lichtiho (ftp://ftp.mindspring.com/users/chlichti/lsys.zip); odtud lze získat i Lparser a Lviewer v jednom souboru (ftp://ftp.mindspring.com/users/chlichti/lparser.zip). A pokud v modelování najdete zalíbení, jistě vám začne dříve či později vadit, že vznikající obrázky jsou jaksi málo barevné a nedají se vytisknout, a tak vám asi nezbude než navštívit http://www.povray.org/ a stáhnout si tam program Persistence of Vision Raytracer, který umí „drátěné“ modely z Lparseru obalit hmotou a opatřit stíny vlastními i vrženými; a nejpozději v tomto bodě shledáte, že byste potřebovali silnější počítač nebo víc paměti nebo větší obrazovku, ale z toho už mne opravdu neviňte.

Matematické modely růstové křivky mikroorganismů

Chování bakteriální či jiné mikrobiální populace za snadno reprodukovatelných (byť i ne právě přirozených) laboratorních podmínek lze předvídat. Zaočkujeme-li malé množství z dobře rostoucí výchozí kultury do dobře míchané tekuté živné půdy, chvíli se neděje nic (bakterie si zvykají na změnu prostředí) a pak začne kultura čile exponenciálně růst. Po určité době bakterie růst opět zvolní a posléze zastaví, zpravidla proto, že spotřebovaly živiny nebo si „otrávily“ prostředí produkty vlastního metabolismu.
Chceme-li matematicky modelovat vývoj mikrobiální kultury, musíme najít funkci, která vyjadřuje závislost koncentrace mikroorganismů v živné půdě N na čase t. Jednou z možností je funkce popisující tvar tzv. logistické křivky, kterou často používají ekologové při popisu vývoje velikosti populací podstatně větších organismů ve složitém prostředí, v němž nelze oddělit jednotlivé vlivy přispívající k omezení rychlosti růstu. Její odvození vychází z předpokladu, že rychlost růstu populace (dN/dt) lineárně klesá s její rostoucí hustotou N dle rovnice dN/dt = r . N, přičemž  r = ro (1-N/K), kde parametr ro postihuje maximální možnou rychlost růstu daného organismu za optimálních podmínek. K je obtížně interpretovatelný formální parametr, který nějak závisí na konkurenci uvnitř populace, ale nic nevypovídá (ani nechce vypovídat) o povaze této konkurence: byl zvolen tak, aby závislost mezi hustotou populace a růstovou rychlostí byla co nejjednodušší - to jest lineární.
Jinak je tomu u podstatně častěji používaného způsobu popisu mikrobiálního růstu, který zavedl Jacques Monod. Monodův model vychází ze dvou předpokladů: kultura roste exponenciálně, tedy N = No . exp(mt), a specifická růstová rychlost m závisí na koncentraci S právě jedné živiny (substrátu) v prostředí - totiž té, jejíž nedostatek limituje růst kultury. Předpokládáme-li dále, že tato limitace se odehrává na úrovni jediné enzymové reakce, jejíž kinetika odpovídá reakci neregulovaného enzymu se substrátem, lze odvodit, že m = m(max) . S/(Ks + S), kde m(max) odpovídá maximální dosažitelné růstové rychlosti a Ks vyjadřuje míru afinity limitujícího substrátu k příslušnému enzymu.
Navzdory odlišné matematické formalizaci lze z logistického i Monodova modelu odvodit podobné křivky, a bylo by obtížné na základě experimentálních výsledků rozhodnout, který model je lepší. Zásadní rozdíl nespočívá v kvalitě predikce dat, ale v tom, že parametrům Monodova modelu lze přisoudit fyziologický význam.
 

L-systémy

Jeden z teoretických rámců pro modelování biologických struktur (ne nutně pouze rostlinných) představují L-systémy. Písmeno L připomíná profesora Aristida Lindenmayera (1925-1989), který formuloval základy této teorie v r. 1968.
Modelování pomocí L-systémů vychází z předpokladu, že organismus lze rozdělit na větší počet jednotek - modulů. Mohou to být třeba jednotlivá internodia, orgány (listy, květy či pupeny), nebo i jednotlivé buňky. Osudy modulů lze předvídat - víme, že květní pupen dá vždy vzniknout poupěti, poupě květu a květ plodu. Vzájemné přeměny modulů můžeme formálně zachytit v podobě odvozovacích pravidel (productions). Předpokládáme nyní, že sledujeme osudy nějaké výchozí struktury (označované jako axiom), jejíž vývoj pozorujeme v nespojitém čase: mezi každými dvěma okamžiky pozorování se struktura promění tak, že všechny její moduly nahradí moduly předepsané odvozovacími pravidly. Uvedený příklad vývoje od květního pupenu v plod bychom mohli popsat takto:
axiom: květní pupen
pravidlo 1: květní pupen -> poupě
pravidlo 2: poupě-> květ
pravidlo 3: květ -> plod
Úlohu modulů ale nemusejí hrát jen „skutečné“ objekty. V následujícím příkladu je třeba k psaným pravidlům přičinit ještě jedno nepsané: symbol, jehož proměnu nepopisuje žádné pravidlo, se nemění.
axiom: X
pravidlo 1: X->F[+X][-X]FX
pravidlo 2: F->FF
Dostaneme tedy v sérii po sobě jdoucích kroků posloupnost:
X           F[+X][-X]FX                      FF[+F[+X][-X]FX][- F[+X][-X]FX]FFX …
Každému znaku (modulu) v této posloupnosti můžeme přiřadit předem zvolený geometrický smysl. Lindenmayerův žák Przemysl Prusinkiewicz například zavedl metodu „interpretace symbolů želvou“ (turtle interpretation of symbols). Každé písmeno při ní vykládáme jako příkaz pomyslné želvičce, která putuje rovinou či prostorem a přitom kreslí. (V praxi ovšem „želvičku“ představuje  program, který musí být opět interpretován a v posledku převeden na příslovečnou řadu nul a jedniček strojového kódu).
V našem případě při konvenční notaci F znamená „nakresli úsečku jednotkové délky“, + „otoč se o daný úhel doprava“, - „otoč se o tentýž úhel doleva“ a hranatá závorka „udělej, co je v závorce, a vrať se bez kreslení na její začátek“. Písmenu X želvička „nerozumí“ a ignoruje je. Při vhodně zvoleném úhlu po několika krocích dostaneme strukturu, která připomíná list nějaké okoličnaté byliny. Navíc má ještě jednu zajímavou vlastnost: při vyšším počtu kroků zřetelně vyvstává soběpodobnost výsledného tvaru - při nekonečně mnoha krocích bychom dostali fraktal.
Uvedený příklad představuje jeden z nejjednodušších L-systémů, schopných generovat obrazy nápadně podobné rostlinám. Mnohem víc možností se otevře, pokud želvičku obdaříme schopností pohybu ve třech rozměrech. Krom toho se objekty modelované pomocí L-systémů nemusejí skládat pouze z úseček: jejich součástí mohou být i další objekty (třeba listy a květy) - a ty můžeme  definovat buďto „od oka“ (to jest třeba i zprůměrováním exaktně změřených prostorových tvarů skutečných listů), nebo zase pomocí L-systémů..
Když místo předem daných úhlů a jednotkových „kroků“ želvičky zavedeme možnost definovat úhly a vzdálenosti reálnými čísly - parametry, které mohou být určeny prostřednictvím nejrůznějších matematických funkcí, můžeme do modelu zavést třeba závislost růstové rychlosti lodyhy na jejím stáří. Nahodilé vlivy můžeme modelovat za pomoci generátoru náhodných čísel, který ovlivňuje parametry nebo i samotnou podobu odvozovacích pravidel (například tím, že pro nějaký modul vybírá z většího počtu osudů s různou pravděpodobností - pupen může vyrašit, zůstat v klidu nebo zahynout).
Z biologického hlediska snad ještě zajímavější důsledky má zavedení závislosti odvozovacích pravidel na kontextu - na poloze modulu v rámci struktury. Umožňuje modelovat i takové děje, jako je šíření signálních molekul rostlinou a odpověď jednotlivých orgánů na signály. Poměrně složitými matematickými postupy lze dokonce sestrojit L-systémy, které se „vyvíjejí“ ve spojitém čase.