Update (2006/03/03): This article is copied from the old version of my website. It is still awaiting the translation to English ....

Abstract:
"Essentials of space - Achilles turtle and Planck length" is an article showing a non-standard philosophical apporach to the problem of space integrity. Everyone who knows the current quantuum-mechanical paradigma in physics can be disapointed with the "pricipiality" of the uncertainity principle. This "principiality" is commonly explained in the way "the uncertanity principle is the most basic level of description and there can be no meaningfull question about the underlaying layer of reality, which allows this principle to emerge". Well, I don't think it is so easy and give the first for me known model of the uderlaying reality. Of course, I don't expect, the reality works exatly the same way as I described here, but hope this thought experiment can lead to more sophisticated sollution of this problem, probably more close to the physical view of reality.

Podstata prostoru

(Achilleova želva a Planckova délka) 

V Praze dne 8. září 2000 (dopracováno 18. září 2000),

anglický souhrn 20. 6. 2001.

    Pokusme se zkratem propojit myšlenkové úvahy dávných filozofů s doufejme poněkud netradičním pohledem na realitu. Stará hádanka se zabývá problémem želvy, která - ač pomalejší než Achilles - má před filosofe stále určitý náskok a nelze ji předhonit. Zadání může být např. toto:

    Achilles se vsadí se želvou, že běží rychleji než ona leze a že ji tedy na rovné trati bez problémů předstihne. Aby byla soutěž spravedlivá, dostane želva 100 metrů náskok. Zároveň víme, že Achilles běží 10x rychleji než to dovede želva. To ale znamená, že uběhne-li Achilles prvních 100 metrů, nachází se želva již na 110. metru. Za dobu, za níž Achilles uběhne zbývajících 10 metrů se ale želva posune o další metr. A vždy, když Achilles uběhne zbývající úsek, želva je o desetinu tohoto úseku napřed. Želva tedy vyhraje svou sázku, protože v nekonečném čase bude stále ještě mít o nekonečně malý kousek cesty náskok. Jak je to možné ?

    Chyba je samozřejmě v logické úvaze, ale možná trochu jinde, než by "matematikou a fyzikou neškolený" člověk očekával. Ze snahy přijít záhadě na kloub by Vás také mohla rozbolet hlava, takže to raději zkraťme a pojďme rovnou k věci.

    Standardní úvaha vedoucí ke správnému výpočtu by zněla asi takto: dráha, kterou uběhne Achilles je rovna desetině toho, co uběhne želva plus počátečních 100 metrů. Pokud vzdálenost od místa, kde startovala želva, k místu, kde ji Achilles dohoní, označíme x, pak zřejmě platí rovnost

10x = 100 + x

neboli

x = 100/9 = 11,111111111111........

    Výsledkem je tedy racionální číslo s neukončeným desetinným rozvojem. Vtip je v tom, že takové číslo nelze vyjádřit jako součet konečného počtu čísel s konečným počtem desetinných míst, což je přesně to, o co jsme se v úvodní úvaze pokoušeli: 

x = 10 + 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 + ....

což lze přepsat jako

x = lim(suma(102-n)) , n=1..nekonečno

    Vidíme tedy, že při našem postupu se můžeme hodnotě zlomku 10/9 neomezeně přiblížit zdola, ale nemůžeme jej nikdy přesně postihnout. Otázkou zůstává, zda skutečně lze drobit zbývající délku (nebo adekvátní čas potřebný k jejímu uběhnutí) donekonečna i ve fyzikálním pojetí úlohy, zda nejde o v realitě nedosažitelnou matematickou abstrakci. Tím samozřejmě nezpochybňuji význam limity ve fyzikálním pohledu na svět, ale domnívám se, že jsme našli jeden z případů, kdy slepé použití tohoto matematického nástroje vede k chybnému závěru.

    Tak a zde končí čistá věda a začíná spekulace, kterou možná někdo matematicky zběhlejší a fyzikálně nadanější rozpráší v jediném okamžiku. Ale možná také ne a dále naznačené úvahy kohosi dovedou až k poznání nejhlubších zákonitostí prostoročasu.

    Zkusme si představit jednu ze základních pouček kvantové mechaniky, tzv. princip neurčitosti, v kontextu předchozí úlohy. Pokud budeme mít možnost měřit fyzikální veličiny jako je dráha, hybnost, čas, energie ad. s omezenou přesností, můžeme dostávat jen přibližné výsledky. Použijme ale starou fintu a rozdělme si prostoročas na nepatrné objemy, které již nejsou z pohledu běžné geometrie dále dělitelné. Nejmenší možný rozměr v tomto smyslu fyzikové nazvali Planckovou délkou a čas, který foton potřebuje k jejímu překonání, Planckovou konstantou. Nazveme-li velikosti těchto konstant principem, pak nezbývá než konstatovat, že nelze získat libovolně přesné výsledky fyzikálních měření. Jsme ve stejné situaci, jako bychom chtěli vyjádřit zlomek 10/9 z předchozí úvahy o Achilleovi a želvě jedním reálným číslem.

    Pozorný čtenář jistě namítne, že existuje-li v přírodě nejmenší možná délka (analogicky další veličiny), nemusí jít o neschopnost nás lidí zlomky Planckovy délky měřit, ale o principiální (na nás nezávislou, objektivní, ....) vlastnost reality. Pak musí být pohyb částic v nespojitý, změny energie skokové, tedy přesně to, co prosakuje z výsledků hledačů "Teorie všeho" mezi nás obyčejné lidi. Já se teď ale pokusím ukázat, že i za této omezující podmínky lze myslet na hlubší vysvětlení principu neurčitosti a z jeho reálné existence zpětně odvodit základní chování prostoročasu, jak jsme zvyklí jej pozorovat.

    Pro vysvětlení principu neurčitost (stále mějme na paměti existenci nejmenších možných kvant energie a prostoročasových rozměrů) se nabízejí dvě možnosti:

1. Nejmenší možné hmotné částice (ať už to budou kvarky, struny nebo něco ještě nepatrnějšího či jiným způsobem základnějšího) nejsou v průmětu do našeho 4-rozměrného prostoru přesně bodové, tj. nejsou bezrozměrné. Protože jsou však určitě mnohem menší než nejmenší přípustné rozměry, máme zde spor. Možná budeme jednou nuceni připustit, že pod Planckovou délkou začíná jiný svět, nikoliv nutně jednodušší a základnější než námi pozorovaný časoprostorový fenomén, ale prostě jiný a principiálně nepostižitelný našimi fyzikálně-matematickými nástroji. Navždy pak zůstane u hypotéz, matematických abstrakcí možných světů "tam dole", které nebude nikdy možné ověřit.

2. Námi pozorovaný prostoročas má svou vnitřní, dosud neodhalenou strukturu, která není zcela stabilní. Tato nestabilita se projevuje lokálními fluktuacemi struktury prostoročasu. Pragmaticky fyzikálně řečeno: hodnoty základních fyzikálních konstant lokálně kolísají.

    Odvažme se v našich úvahách na ještě tenčí led a zaspekulujme si o tom, co tyto fluktuace časoprostorové struktury může způsobit. Z matematiky jsou dobře známy křivky, které ač samy mají nekonečnou délku, ohraničují konečnou (a spočitatelnou) plochu. Lze říci, že křivka této kategorie je limitou příslušné plochy, kterou uzavírá, protože se libovolně blíží ke kterémukoliv jejímu bodu. "Svinutím" jednorozměrného útvaru tak vniká útvar vícerozměrný. Jestliže však připustíme diskontinuitu časoprostoru (tak, jak jsme ji nastínili v předchozích odstavcích), dostaneme přeci jen určitá omezení. To, co by se mohlo jevit jako plocha a s čím bychom bez jakýchkoliv problémů mohli v běžných měřítcích jako s plochou také zacházet, ve skutečnosti nadále zůstává obyčejnou čárou, jen hodně stočenou do sebe sama.

    Fyzikální obraz této matematické abstrakce by pak mohl počítat s tím, že míra onoho přiblížení reálně křivky skutečné limitě (ploše) bude záviset na množství energie, která je v systému uložena. Množství energie bude určovat vzdálenost sousedních smyček uvažované křivky, tedy míru složitosti. Větší "vzdálenosti" mezi smyčkami povede k jejich samovolnému přiblížení a naopak - splynutí dvou částí křivky zabrání potřeba nekonečně velké energie pro takový děj (opět jde o nereálný limitní případ). Na hranici této dynamické stability proto dochází k dílčím odchylkám (lokálním fluktuacím) vůči pravidelné struktuře. Asi nelze o tomto modelu do důsledku uvažovat takto přísně geometricko-mechanisticky, ale ono se to ve více rozměrech různého fyzikálního charakteru špatně představuje.

    Pokud by tyto úvahy byly správně, znamenalo by to především místní kolísání hodnot Planckovy délky (Planckova délka, tak jak ji chápeme dnes, je vlastně vyjádřením míry průměrné vzdálenosti mezi "listy" struktury, z níž je vystavěn námi pozorovaný a obývaný prostoročas) i jiných základních fyzikálních "konstant". Předpokládejme, že jednou bude možné tyto miniaturní výkyvy měřit a že bude možné rozhodnout, zda tuto hypotézu lze vyvrátit či nikoliv.

    Prostoročas je tedy vlastně jakési dynamicky nespojité médium. Částice (kvarky, struny, energie, pole, "spádová oblast", jak je libo, snad jde jen o různé úrovně popisu téhož) jsou pak vlastně nadprahové poruchy (anomálie) v takto vykonstruované pravidelné prostoročasové struktuře. Chovají se podle pravidel, které tato struktura určuje přímo svými vlastnostmi a my tato pravidla popisujeme jako přírodní zákony. Je tedy zřejmé že přírodní zákony vyplývají ze způsobu, jakým se z jednoduché struktury generuje složitější, kterou pak jsme schopni vnímat jako časoprostor. Dostáváme se tak k další závažné otázce, zda jsou všechny částice virtuální, lépe řečeno, zda je mezi reálnou a virtuální částicí nějaký principiální rozdíl. Domněnku, že nikoliv, lze podpořit úvahou o tom, že to, co se na úrovni popisu prostoročasu jeví jako kvantované je ve skutečnosti opět utvářené spojitým prostředím a že způsob projevu částice v našem způsobu vnímání je dána jen intenzitou její existence, resp. vztahem této intenzity k určitým prahovým hodnotám.

    Stejně tak lze uvažovat o pohybu částice jako o propagaci dočasné lokální změny "napříč k sobě přiloženými vrstvami".

Za inspiraci k těmto úvahám děkuji především knize W. Lietzmanna s názvem "Kde je chyba ?", která se zabývá netriviálnostmi v základech matematického poznání.